Dans cette leçon de numération et de résolution de problèmes pour les élèves de CM1–CM2, nous allons travailler sur la notion de proportionnalité. Les élèves découvriront que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on peut passer de l’une à l’autre en multipliant ou en divisant toujours par le même nombre (coefficient de proportionnalité), comme dans les recettes, les prix ou les échelles. À partir de tableaux, de problèmes de la vie quotidienne et de techniques comme le passage à l’unité ou l’utilisation des propriétés de linéarité (additive et multiplicative), ils apprendront à reconnaître les situations de proportionnalité et à les résoudre. Retrouvez la dernière leçon ici ! Clique ici pour revenir sur la page d’accueil !
CP15 : Notion de proportionnalité
On dit que deux grandeurs sont proportionnelles quand on peut passer de l’une à l’autre en multipliant ou divisant toujours par le même nombre.
Le lien entre ses deux grandeurs est le coefficient de proportionnalité.
Lorsqu’on se trouve dans une situation de proportionnalité, les calculs sont plus faciles à effectuer et on peut utiliser des tableaux.
Exemple :
Ici, on dit que le prix est proportionnel au nombre de CD et que le coefficient est de 15.
CP16 : Proportionnel ou non ?
Notion de proportionnalité
Un livre coûte 4 €. Luna veut en acheter plusieurs. Elle hésite entre 1, 3, 5 ou 8 livres.
Calcule le prix de ses achats dans ces 4 cas.
| Nombre de livres | 1 | 3 | 5 | 8 |
| Prix à payer | 4 | 12 | 20 | 32 |
On passe d’une ligne à l’autre en faisant toujours le même calcul.
Tous les points sont alignés et la droite part de l’origine.
Ce n’est pas une situation de proportionnalité !
Luna veut acheter plusieurs livres. Dans le magasin, une affiche indique les prix dégressifs suivants.
| Nombre de livres | 1 | 2 | 5 | 10 |
| Prix à payer | 2 | 4 | 8 | 15 |
Pour passer d’une ligne à l’autre, on ne fait pas toujours le même calcul.
Tous les points sont ne sont pas alignés.
CP17 : Tableaux de proportionnalité
Dans une situation ne proportionnalité, on multiplie ou on divise toujours par le même nombre, on peut donc utiliser la fonction « multiplier » ou la fonction « diviser ». Les tableaux proportionnel ont une autre caractéristique intéressante : on peut utiliser la propriété de linéarité. Elle conserve les sommes et conserver également la fonction « multiplier »
CP18 : La règles de trois
Mon ami a acheté 7 maillots pour 91 €. Combien vais-je payer si j’en achète 5 ?
Le passage à l’unité :
On cherche la valeur de l’unité (le prix d’un seul maillot) –> 91 : 7 = 13€
Un maillot coûte 13€.
On cherche la valeur de 5 maillots : 13 x 5 = 65€
Cinq maillots coûtent 65€.
CP19 : Les pourcentages
Résoudre des problèmes de proportionnalité en utilisant les pourcentages !
CP20 : Agrandir ou réduire une figure
Lexique autour de la notion de proportionnalité
| Façon d’aborder | Objectif principal (détaillé) |
|---|---|
| Situations concrètes du quotidien | Donner du sens en montrant que la proportionnalité est partout dans la vie de tous les jours : recettes, achats au supermarché, partage de gâteaux, de bonbons ou de matériel. L’objectif est que les élèves comprennent que lorsque deux grandeurs augmentent ensemble (par exemple quantité et prix), elles suivent une même logique, et non un hasard. Cela prépare l’idée de rapport constant avant même d’aborder la technique. |
| Tableau de proportionnalité | Permettre aux élèves de s’organiser en plaçant les données dans un tableau à deux lignes (par exemple « nombre d’objets / prix » ou « temps / distance »). L’objectif est de visualiser les couples de valeurs, de repérer les valeurs connues et d’anticiper les valeurs manquantes, tout en introduisant progressivement le vocabulaire mathématique (proportionnalité, coefficient). Le tableau devient un support central pour expérimenter différentes stratégies de calcul. |
| Passage par l’unité | Apprendre à raisonner en deux étapes : d’abord trouver la valeur « pour 1 » (par exemple le prix d’un seul stylo ou la distance parcourue en 1 heure), puis utiliser cette valeur de base pour calculer n’importe quelle autre quantité. L’objectif est de développer le sens du nombre, de montrer le lien entre division et multiplication, et de proposer une méthode accessible même aux élèves en difficulté, avant des méthodes plus rapides comme le coefficient ou le produit en croix. |
| Coefficient de proportionnalité | Faire découvrir qu’il existe un nombre unique (le coefficient) par lequel on multiplie les valeurs d’une ligne pour obtenir celles de l’autre, ce qui montre que le lien entre les deux grandeurs est toujours le même. L’objectif est de passer d’une approche par essais successifs à une approche plus mathématique et systématique, en utilisant ce coefficient pour calculer rapidement des valeurs plus grandes ou plus petites, tout en restant ancré dans des situations concrètes. |
| Règle de trois / produit en croix (CM2) | Introduire une méthode efficace pour résoudre des problèmes de proportionnalité, en plaçant les trois valeurs connues et la valeur inconnue dans un « schéma en croix ». L’objectif est de permettre aux élèves de résoudre rapidement des calculs sans avoir à tout recalculer à chaque fois, tout en continuant à expliquer le raisonnement : « si ici, alors là ». Cette technique prépare au travail de proportionnalité au collège, à condition de bien ancrer le sens avant la formule. |
| Graphique (points alignés) | Montrer visuellement que, dans une situation de proportionnalité, les points représentant les couples de valeurs (par exemple temps / distance ou nombre d’objets / prix) sont alignés sur une droite qui passe par l’origine (0, 0). L’objectif est de lier le raisonnement numérique à une représentation géométrique, de renforcer l’idée que zéro objet correspond à zéro euro ou zéro kilomètre, et de repérer les situations qui ne sont pas proportionnelles, où les points ne sont pas alignés ou ne passent pas par l’origine. |
| Comparaison de prix ou de vitesses | Entraîner les élèves à comparer des rapports (prix au kilo, prix à l’unité, vitesses en km/h) pour faire des choix raisonnés : acheter le produit le moins cher, choisir le moyen le plus rapide… L’objectif est de leur apprendre à aller au‑delà de la simple lecture d’un prix ou d’un temps, et à comparer les « rapports » pour décider de manière plus intelligente. Cela développe le raisonnement proportionnel tout en restant très concret. |
| Situations non proportionnelles | Aider les élèves à distinguer clairement ce qui est proportionnel de ce qui ne l’est pas, par exemple lorsqu’il existe un forfait, un prix fixe, une augmentation irrégulière ou un seuil à franchir. L’objectif est de leur montrer que toutes les situations ne peuvent pas être traitées avec les mêmes méthodes et que certaines demandent d’autres types de raisonnement. Cela développe leur esprit critique et leur capacité à analyser le contexte avant de choisir une stratégie. |
| Échelles sur plan ou carte | Utiliser la proportionnalité dans un contexte géométrique ou géographique, par exemple en travaillant sur des échelles simples du type « 1 cm sur le plan représente 100 m dans la réalité ». L’objectif est de faire le lien entre l’espace réel et une représentation réduite, de travailler la mesure, la lecture d’une échelle, et de calculer des distances réelles à partir de mesures sur un plan. Cela permet de lier les compétences mathématiques à des situations concrètes de géographie, de lecture de plans ou de cartes. |
Quelles compétences travaille-t-on autour de la notion de proportionnalité ?
| Compétence : | Indicateur de réussite |
|---|---|
| Comprendre la notion de proportionnalité | L’élève sait qu’en proportionnalité, si on double une grandeur, l’autre double aussi (ex. : recette, carte). |
| Identifier situations proportionnelles | L’élève repère : prix au kg, cartes à l’échelle, temps de trajet. |
| Vérifier la proportionnalité | L’élève teste : 2 kg → 6 €, 4 kg → 12 € (×2 des deux côtés). |
| Utiliser tableau de proportionnalité | L’élève remplit : 1 kg = 3 € ; 3 kg = ? € → 9 €. |
| Résoudre problèmes proportionnels | L’élève calcule : 250 g = 0,75 € → 1 kg = ? € → 3 €. |
| Appliquer échelles et agrandissements | L’élève applique : carte 1:50 000 → 2 cm = 1 km réel. |
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